====== LU01h - Binär codierte Ganzahlen - Einführung ======

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Bei der binären Codierung von Zahlen werden drei Ziele verfolgt:
  * Kompakte Speicherung der Information
  * Effiziente Verarbeitung von Berechnungen
  * Präzise Speicherung der Zahlen

Je nach gewähltem Datentyp werden diese Ziele unterschiedlich gewichtet.

===== Ganzzahlen =====
=== Positive Zahlen ===
Bei positiven Ganzzahlen wird der Wert im binären Zahlensystem mit '0' und '1' gespeichert.
Das erste Bit ist dabei immer '0'.
Beim Programmieren bestimmt der Datentyp die Anzahl Bits die verwendet werden.

== Beispiel ==
<code java>
short zahl = 5;
</code>

  * ''short'' verwendet 16 Bit
  * Resultat: ''0000 0000 0000 0101''<sub>2</sub>

=== Negative Zahlen ===
Bei negativen Zahlen wird das sogenannte Zweierkomplement gespeichert:

    - Addieren Sie 1 zur Zahl: -13<sub>10</sub> + 1<sub>10</sub> = -12<sub>10</sub>
    - Entfernen Sie das Vorzeichen der Zahl: -12<sub>10</sub> => 12<sub>10</sub>
    - Übertragen Sie die Zahl ins Binärsystem: 12<sub>10</sub> = 0000 0000 0000 1100<sub>2</sub>
    - Invertieren Sie alle Bits: 0000 1100<sub>2</sub> => **1111 1111 1111 0011<sub>2</sub>**

Negative Zahlen haben immer Bit '1' an erster Stelle.

===== Binary Coded Decimals (BCD) =====
Bei dieser Codierung wird jede Ziffer einzeln binär codiert.
Üblicherweise werden 4 Bits verwendet, um eine dezimale Ziffer zu codieren.
Falls negative Zahlen möglich sind, wird das Vorzeichen ebenfalls einzeln codiert.

== Beispiel ==
Die Zahl +157 soll als BCD codiert werden.
<code>
Dezimal:        +    1    5    7
BCD 8-4-2-1:  1010 0001 0101 0111
</code>

In diesem Beispiel gilt:
  * Jede Ziffer wird mit 4 binären Stellen codiert.
  * Vorzeichen: + = 1010<sub>2</sub>  / - = 1011<sub>2</sub>.
  * Die binären Stellen haben (von links nach rechts) die Werte 8-4-2-1.

=== Weitere BCD-Codierungen ===
Es existieren weitere Möglichkeiten zur Codierung von Dezimalzahlen.
Dabei muss festgelegt sein:
  * Welche Stelle im Binärcode entspricht welchem Werte (8-4-2-1 oder 2-4-2-1).
  * Wie viele Stellen vor und nach dem Komma werden gespeichert.

===== Fliesskommazahlen =====
Eine Fliesskommazahl wird als eine Multiplikation mit einer 10er-Potenz ausgedrückt.
Anstelle von +2.345 * 10<sup>5</sup> schreiben wir ''+2.345E5''.
Zum Beispiel: 
<code>
+2.345 E 5.
^  ^     ^
|  |     +-- Exponent
|  +-------- Mantisse
+----------- Vorzeichen
</code>

== Ganzzahlige Mantisse ==
Für die binäre Codierung müssen wir zunächst die Mantisse ganzzahlig machen.
Dazu verschieben wir den Dezimalpunkt nach links oder rechts.

<code>
+2345E+2
</code>

Hier wurde der Dezimalpunkt drei Stellen nach rechts verschoben.
Deshalb wurde der Exponent um 3 reduziert.

== Codierung ==
In der binären Codierung werden die verschiedenen Informationen einzelne codiert:
  - Vorzeichen: + = 0<sub>2</sub> / - = 1<sub>2</sub>
  - Mantisse: Wird als positive binäre Ganzzahl codiert (Vorzeichen wird ignoriert).
  - Exponent: Ein Korrekturwert (Bias) wird addiert und das Resultat als positive binäre Ganzzahl codiert.

In der Regel werden Fliesskommazahlen entweder mit 32 Bit (''short''-Format) oder 64 Bit (''long''-Format) codiert.
Da die Regeln für beide gleich sind, beschränken wir uns auf das ''short''-Format.

=== Bias ===
Der Korrekturwert oder Bias dient dazu, dass der codierte Exponent immer positiv ist.
Dadurch entfällt eine separate Logik für das Vorzeichen des Exponenten.

Im ''short''-Format können die Exponenten -127 bis +128 sein.
Daher beträgt der Bias **127**, wodurch wir einen korrigierten Exponenten von +0 bis +256 erhalten.

=== Anzahl Stellen ===

Die Anzahl der binären Stellen wird vom Datentyp bestimmt.
Bei ''short'' gilt:
  * Vorzeichen: 1 Bit
  * Exponent: 8 Bit (Bias 127)
  * Mantisse: 23 Bit


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[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/|{{https://i.creativecommons.org/l/by-nc-sa/4.0/88x31.png}}]] Marcel Suter